線形静解析CAE ソフトの購入を検討する場合には以下の様な解析を実行し（あるいは解析を依頼し）、その結果と理論解とを比較してみてください。解析ソフト自体の機能や計算精度、それを扱う販売店やそのサポート体制の実力を確認するためにも利用できると思います。理論解との差が小さい（一般的にはその差が10％以内、できれば5％以内）場合のみ、解析ソフトの機能が優れていてなおかつそれを扱う技術者の能力も優れていることがわかります。それ以外の場合は、少なくとも解析ソフトの性能か技術者のスキルのどちらか一方のレベルが低いということを表しています。ただし、解の精度は要素分割方法にも大きく依存しますので、その影響を考慮すべきであることは当然です。
理論解を求めるための具体的な計算式や、導入を検討しているソフトでの以下の問題での実際の計算結果の評価方法についてご質問のある方はこちらまで
今後も理論解のある問題や、文献から実験値などの得られる問題等を追加して、皆様方の CAE ソフト購入時や外部への解析業務の発注時にの機能比較の役に立つようなページにしていきたいと思っています。参考になる文献等に関する情報をお持ちの方はご連絡ください。結果として、オフィス・イイダでの ABAQUS 利用の実力確認にもなると思います。
矩形断面梁の一端に荷重を負荷した場合の変形
| データ | |
| 長さ | 10 m |
| 幅 | 10 cm |
| 高さ | 20 cm |
| Young 率 | 6.9 x 10^10 Pa |
| 荷重 | 100 N |
| 理論解 | |
| 最大変位量 | 7.25 mm |
| 曲げ応力 | 1.50 MPa |
CAE ソフトによる解析の結果
| ソフト名 | FEVA 1.4b (注1 | ABAQUS 6.5-3 (注2 | ||||
| 使用要素 | HEXA8要素 | C3D8I要素 | C3D20R要素 | |||
| 要素分割 | 等分割： 200個 (100 x 1 x 2) |
誤差 | 等分割： 200個 (100 x 1 x 2) |
誤差 | 等分割： 200個 (100 x 1 x 2) |
誤差 |
| 最大変位量 | 7.43 mm | +2.5 % | 7.23 mm | -0.28 % | 7.24 mm | -0.14 % |
| 曲げ応力 | 1.51 MPa | +0.7 % | 1.50 MPa | 0.0 % | 1.53 MPa | +2.0 % |
(注2 この問題の場合、C3D8要素を用いた計算では曲げ応力で18％低く、C3D8R要素を用いた計算では曲げ応力で34％も低いという結果が出る。実際の解析の場合には、問題にあった要素タイプの選択が非常に重要となる。なお、C3D8R要素で理論解に近い値を得るためには、100x2x40程度の分割をする必要がある。
中空丸棒の一端を固定し、他端にトルクをかけた場合のねじり
| データ | |
| 長さ | 50 cm |
| 内径 | 9 cm |
| 外径 | 10 cm |
| Young率 | 4.0 x 10^10 Pa |
| トルク | 100 Nm |
| 理論解 | |
| ねじり角 | 3.702 x 10^{-4} Rad. |
| 最大せん断応力 | 1.480 MPa |
板の中央に円孔が開いているときの円孔周りの応力集中の様子を求める
| データ | |
| 板幅 | 100 mm |
| 穴直径 | 20 mm |
| 板厚 | 5 mm |
| Young率 | 2.1 x 10^11 Pa |
| 引張り力 | 5000 N |
| 理論解 | |
| 最大応力 | 31.4 MPa |
CAE ソフトによる解析の結果
| ソフト名 | ABAQUS 6.5-3 | |||
| 使用要素 | C3D8要素 (注1 | |||
| 要素分割 | 要素サイズ：1 mm 11685個 |
誤差 | 要素サイズ：2 mm 1704個 |
誤差 |
| 最大応力 | 32.1 MPa | +2.2 % | 30.8 MPa | -1.9 % |
正方形板のランダム振動（四辺単純支持）
20 〜 3020 Hz の範囲のホワイトノイズが作用する条件下で、一次のモードのみ考慮した場合の応答を解析すれば以下のようになります。
| データ | |
| 辺長 | 150 mm |
| 厚み | 1.2 mm |
| 圧力 | 2000 Pa |
| Young 率 | 7.0 x 10^10 |
| Poisson 比 | 0.3 |
| 密度 | 2700 kg/m^3 |
| 減衰率 | 0.005 |
| 理論解 | |
| 最大変位（中央部） | 1.98 mm |
| 最大応力（中央部） | 52.1 MPa |
CAE ソフトによる解析の結果
| ソフト名 | COSMOS/M 2.5 | |
| 使用要素 | 四辺形シェル要素 | |
| 要素分割 | 等分割： 900個 (30 x 30) |
誤差 |
| 最大変位（中央部） | 2.02 mm | 2.0 % |
| 最大応力（中央部） | 53.34 MPa | 2.4 % |
板の Rolling_up 問題
板の一端を固定し、他端にモーメントを作用させて巻き取っていく場合の回転角と加えるモーメントとの関係を求める。
| データ | |
| 縦 | 1 m |
| 横 | 10 cm |
| 厚さ | 1 mm |
| Young 率 | 2.1 x 10^11 Pa |
| Poisson 比 | 0. |
| 回転角 | 2 PI |
| 理論解 | |
| モーメント | 11.0 Nm |
CAE ソフトによる解析の結果
| ソフト名 | COSMOS/M 2.5 | ABAQUS 6.5-5 | ||
| 使用要素 | 四辺形シェル要素 | S4R要素 | ||
| 要素分割 | 等分割： 500個 (100 x 5) |
誤差 | 等分割： 500個 (100 x 5) |
誤差 |
| モーメント | 13.6 Nm | 23.6 % | 11.0 Nm | 0.0 % |
注） この結果は要素分割数によってはまったく別の値となることも考えられますが、あくまで一つの計算例として並べてあります。
Hertz の接触理論による球と剛平面との接触に関する解析結果は以下の通りです。
| データ | |
| 半径 | 5 mm |
| 荷重 | 10^2 N |
| Young 率 | 2.0 x 10^10 Pa |
| Poisson 比 | 0.3 |
| 理論解 | |
| 接触円の半径 | 0.257 mm |
| 接触近接量 | 13.26 μm |
CAE ソフトによる解析の結果
| ソフト名 | ABAQUS 6.5-5 | |
| 使用要素 | CAX4R要素 | |
| 要素分割 | 1700個 | 誤差 |
| 接触円の半径 | 0.258 mm | +0.4 % |
| 接触近接量 | 13.15 μm | -0.8 % |
弾性接触理論による円筒と剛平面との接触に関する解析結果は以下の通りです （なお、最大接触圧の計算には、一様圧力分布を仮定した Lundberg の式を使用しました）。
| データ | |
| 長さ | 2 cm |
| 半径 | 5 mm |
| 荷重 | 10^5 N |
| Young 率 | 2.0 x 10^10 Pa |
| Poisson 比 | 0.3 |
| 理論解 | |
| 接触幅の半分 | 1.203 mm |
| 最大接触圧 | 2.646 GPa |
| 接触近接量 | 0.580 mm |
注） この解析結果では実際に使用される条件というよりも、メッシュ数を少なくして解析時間を短くするためなど主に解析面から条件を設定しているために、結果として現実的ではない過大な値となっています。
CAE ソフトによる解析の結果
| ソフト名 | COSMOS/M 2.5 | |
| 使用要素 | 平面歪み要素 | |
| 要素分割 | 不等分割： 要素数不明 |
誤差 |
| 接触幅の半分 | 1.160 mm | 3.6 % |
| 最大接触圧 | 2.360 GPa | 10.8 % |
| 接触近接量 | 0.650 mm | 12.1 % |
四辺を単純支持した場合の固有値（1次から4次まで）
| データ | |
| 縦 | 1 m |
| 横 | 50 cm |
| 厚さ | 2 cm |
| Young 率 | 2.1 x 10^11 |
| Poisson 比 | 0.28 |
| 密度 | 7700 kg/m^3 |
| 理論解 | ||
| モード次数 | 固有円振動数 (Rad/Sec) |
固有振動数 (Hz) |
| 1 | 1549.896 | 246.674 |
| 2 | 2479.834 | 394.678 |
| 3 | 4029.730 | 641.351 |
| 4 | 5269.646 | 838.690 |
CAE ソフトによる解析の結果
| ソフト名 | ABAQUS 6.5-5 | |
| 使用要素 | S4R要素 | |
| 要素分割 | 等分割：200要素 (10x20) | |
| モード次数 | 固有振動数 (Hz) | 誤差 |
| 1 | 246.63 | 0.0 % |
| 2 | 392.30 | -0.6 % |
| 3 | 641.98 | +0.1 % |
| 4 | 865.10 | +3.1 % |
矩形断面の梁での座屈解析（一端固定、他端自由）を行なうと、以下の様な座屈荷重および座屈応力が求められます。
| データ | |
| 長さ | 1 m |
| 幅 | 2 cm |
| 高さ | 10 cm |
| Young 率 | 4.5 x 10^10 Pa |
| 理論解 | |
| 座屈荷重 | 7.4022 kN |
| 座屈応力 | 3.7011 MPa |
三層無限平板の一次元定常熱伝導解析
| データ | |||
| 一層目 | 二層目 | 三層目 | |
| 厚さ (cm) | 30 | 20 | 10 |
| 熱伝導率 (W/m K) | 200 | 35 | 420 |
| 比熱 (J/kg K) | 900 | 130 | 230 |
| 密度 (kg/m^3) | 2700 | 11000 | 11000 |
| 側面（外部）温度 (C) | 200 | --- | 20 |
| 理論解 | |
| 一層目と二層目との境界 | 163.77 C |
| 二層目と三層目との境界 | 25.751 C |
CAE ソフトによる解析の結果
| ソフト名 | COSMOS/WORKS 5.0 | FEVA 1.4b | ABAQUS 6.5-5 | |||
| 使用要素 | TETRA要素 | HEXA8要素 | DC3D8要素 | |||
| 要素分割 | 等分割： 要素数不明 |
誤差 | 等分割： 150個(5x5x6) |
誤差 | 等分割： 150個(5x5x6) |
誤差 |
| 一層目と二層目との境界 | 163.77 C | 0. % | 163.77 C | 0. % | 163.77 C | 0. % |
| 二層目と三層目との境界 | 25.751 C | 0. % | 25.751 C | 0. % | 25.751 C | 0. % |
無限平板の一次元非定常熱伝導解析
| データ | |
| 熱伝導率 | 75 W/m K |
| 比熱 | 450 J/kg K |
| 密度 | 7900 kg/m^3 |
| 板厚 | 1 cm |
| 初期温度 | 400 K |
| 熱伝達率 | 750 W/m^2 K |
| 雰囲気温度 | 300 K |
| 理論解 | ||
| 時刻（秒） | 温度 (r=0) | 温度 (r=1) |
| 1 | 399.5 K | 394.8 K |
| 2 | 397.5 K | 392.9 K |
| 3 | 395.6 K | 391.0 K |
| 4 | 393.6 K | 389.1 K |
| 5 | 391.7 K | 387.3 K |
| 6 | 389.9 K | 385.6 K |
| 7 | 388.1 K | 383.8 K |
| 8 | 386.3 K | 382.1 K |
| 9 | 384.5 K | 380.5 K |
| 10 | 382.8 K | 378.9 K |
CAE ソフトによる解析の結果
| ソフト名 | COSMOS/WORKS 5.0 | FEVA 1.4b | ABAQUS 6.5-5 | |||||||||
| 使用要素 | TETRA要素 | HEXA8要素 | DC3D8要素 | |||||||||
| 要素分割 | 等分割：要素数不明 | 等分割：32個(2x4x4) | 等分割：32個(2x4x4) | |||||||||
| 時刻（秒） | 温度 (r=0) | 誤差 | 温度 (r=1) | 誤差 | 温度 (r=0) | 誤差 | 温度 (r=1) | 誤差 | 温度 (r=0) | 誤差 | 温度 (r=1) | 誤差 |
| 1 | 399.2 K | -0.1 % | 395.3 K | +0.1 % | 399.0 K | -0.1 % | 396.0 K | +0.3 % | 399.0 K | -0.1 % | 396.0 K | +0.3 % |
| 2 | 397.6 K | 0.0 % | 393.1 K | +0.1 % | 397.5 K | 0.0 % | 393.4 K | +0.1 % | 397.5 K | 0.0 % | 393.4 K | +0.1 % |
| 3 | 395.8 K | +0.1 % | 391.3 K | +0.1 % | 395.7 K | 0.0 % | 391.3 K | +0.1 % | 395.7 K | 0.0 % | 391.3 K | +0.1 % |
| 4 | 393.9 K | +0.1 % | 389.5 K | +0.1 % | 393.8 K | +0.1 % | 389.4 K | +0.1 % | 393.8 K | +0.1 % | 389.4 K | +0.1 % |
| 5 | 392.1 K | +0.1 % | 387.7 K | +0.1 % | 392.0 K | +0.1 % | 387.6 K | +0.1 % | 392.0 K | +0.1 % | 387.6 K | +0.1 % |
| 6 | 390.3 K | +0.1 % | 386.0 K | +0.1 % | 390.1 K | +0.1 % | 385.8 K | +0.1 % | 390.1 K | +0.1 % | 385.8 K | +0.1 % |
| 7 | 388.6 K | +0.1 % | 384.3 K | +0.1 % | 388.4 K | +0.1 % | 384.1 K | +0.1 % | 388.4 K | +0.1 % | 384.1 K | +0.1 % |
| 8 | 386.9 K | +0.2 % | 382.7 K | +0.2 % | 386.6 K | +0.1 % | 382.4 K | +0.1 % | 386.6 K | +0.1 % | 382.4 K | +0.1 % |
| 9 | 385.2 K | +0.2 % | 381.1 K | +0.2 % | 384.9 K | +0.1 % | 380.8 K | +0.1 % | 384.9 K | +0.1 % | 380.8 K | +0.1 % |
| 10 | 383.5 K | +0.2 % | 379.5 K | +0.2 % | 383.2 K | +0.1 % | 379.1 K | +0.1 % | 383.2 K | +0.1 % | 379.1 K | +0.1 % |